수능 공통과목인 수학2에서의 고난도 문항은 결국 3, 4차함수의 특징을 활용하여 개형을 추론하고 상황을 해석하는 것이 메인이 된다. 따라서 3, 4차함수의 특징을 사전에 미리 정리해두면 실전에서 다양한 계산 효율성 및 해석의 편의성을 가질 수 있다. 이번 컬럼에서는 그 중 3차함수의 비율관계를 정리해보려 한다. 3차함수 비율관계는 크게 다음의 3가지가 있다. 

① 3차함수가 직선과 접할 때 비율관계 (1:1:1 또는 2:1)

어떠한 계수와 형태를 갖더라도 3차함수는 위와 같은 비율의 특징을 갖게 되고, 따라서 합동인 8개의 직사각형 안에 정확하게 들어맞는 형태를 가지게 된다.

당연히 단순 결과만 익히는 것이 아닌 원리를 이해하는 것이 중요하다. 위와 같이 되는 이유를 다음의 증명에서 확인하자. 

위의 비율관계와 마찬가지로 이 비율관계 역시 모든 3차함수에서 성립한다.

다만 중요한 것은 반드시 ‘변곡점’에 대해 대칭인 상황에서만 가능하다는 것을 이해하며 다음의 증명으로 확인해보자. 증명의 경우 정석적인 증명보다는 위의 사실관계를 확인하기 편한 형태로 식을 구성하여 비율관계가 성립함을 보이려 한다.

사실 위 관계를 비율관계보다는 ‘극값 높이차 공식’으로 흔히 알려져 있지만, 개인적으로는 시험에서 자주 출제되는 숫자 조합 (ex) 최고차항의 계수 1인 3차함수는 극값 x좌표 차가 2일 때 높이차 4 , 1:2:4로 외우자!) 등이 있기에 분류의 편의상 가로 & 세로 비율관계 라고 명칭을 붙였다.

위 공식의 증명은 다소 복잡하긴 하나, 익히고 나면 다양한 추가 공식들에 적용할 수 있으므로 반드시 알아두자! 

[추천]
과거 수능, 모의고사 기출에서 빈출 주제였지만 현재는 고3 모의고사 실전에서 사용할 상황이 자주 등장하지는 않는다.

다만, 고2 수학2 내신에서는 여전히 과거 모의고사 기출 문항에 적용해야 하는 경우가 많기에 기본 소양처럼 학습하여, 여러 문항에 있어서 계산 피로도를 낮추고, 빠른 문제풀이가 가능하도록 완벽하게 익히자. 반드시 증명까지 완벽하게 본인의 것으로 소화하는 것이 가장 중요하다.