기존에는 주로 미적분에서 학습하고 활용했던 이차함수와 접선 사이의 특수 개념이 최근 들어서는 고1 과정에서도 자주 활용된다. (미적분에서는 이차함수의 평균값 정리로 이해할 수 있다) 특히 미지수가 많거나 계산 피로도가 높은 순간에 활용할 경우, 훨씬 더 가볍게 문제풀이를 해나갈 수 있다. 따라서 최상위권을 희망하는 학생들의 경우 적극 활용할 것을 추천한다.

우선 이차함수와 기울기가 같은 직선 & 접선의 교점 사이 관계는 다음과 같다.

우선 첫 번째 증명의 경우 근과 계수와의 관계를 활용한 증명이다.

기울기가 같은 두 직선의 경우 일차항의 계수가 동일하고 따라서 이차함수와 연립할 경우 ‘두 근의 합’의 값이 보존됨을 알 수 있다. 따라서 두 교점의 x좌표의 합은 동일하고, 이때, 중근은 ‘서로 같은 두 실근’이라는 개념을 활용하면 증명을 마무리 지을 수 있다.

또한, 두 번째 증명의 경우에는 ‘차의 함수’를 활용한 증명이다. 두 함수의 차의 함수를 해당 함수 아래에 바로 그리게 될 경우, 마치 x축이 기존의 직선과 동일한 역할을 한다고 생각해 볼 수 있다. 이때, 차의 함수에서 x축과 동일한 기울기를 가지는 접선을 그릴 경우 해당 접선은 꼭짓점에서 가지게 되므로, 이차함수의 대칭성을 활용하면 마찬가지로 증명해 낼 수 있다.

사실상 위의 두 가지 증명 이외에도 미적분에서 학습하는 미분계수의 개념과 평균변화율을 활용하면 조금 더 쉽게 증명할 수 있으나, 고1 공통수학 과정 내에서 올바른 증명은 위의 증명들이므로 위의 두 가지만 소개한다.

또한 위의 증명 중 첫 번째 증명에서 ‘기울기가 같은 두 직선과 연립할 경우 두 근의 합이 보존’의 개념을 활용하면 다음과 같은 문제풀이 팁을 얻을 수 있다.

위의 개념은 실제 최근 몇 년간 고난도 모의고사 기출에서 사용할 경우 시간 단축에 있어 압도적인 효율을 가질 수 있었기에 반드시 익혀두자. 또한 추후 학습하게 될 ‘대수(기존 수학1)’에서의 표현을 활용하면 위의 x좌표들이 ‘등차수열’을 이룬다고도 표현할 수 있으므로 참고로 알아두자.

[추천]

반드시 방법 암기뿐만 아니라 해당 방법이 유도되는 과정까지도 확실히 이해하고 활용해 보자. 

또한, 최근 모의고사 기출들을 활용하여 위의 개념을 적용해 보는 훈련 후, 실전에서 사용하는 것을 추천한다.