함수 해석의 난이도를 높이기 위해 가장 흔히 사용되는 방법이 절댓값을 씌우는 것이다. 하지만 절댓값 하나만 추가됐음에도 학생들 입장에서는 상당히 까다로운 문항으로 변형된다. 그중에서도 미분가능성과 관련된 유형은 수능과 내신 모두에서 최고난도 유형으로 자주 출제되는 주제인 만큼 그 중요성이 매우 크다고 할 수 있다.

절댓값 다항함수의 미분가능성 여부에 대해 파악하기 위해서는 우선 ‘미분불가능 의심점’을 추려서 확인하는 것이 중요하다. 우선 그래프와 표를 활용하여 다항함수의 해당 지점 인수 개수에 따른 상황을 확인해 보자.

위의 내용에서 조금 더 확장하여 기출문항에서 자주 등장하는 꼴인 v=∣f(x)−t∣ 형태의 그래프 또한 해석이 가능하다. 

앞에서 학습한 v=∣f(x)∣ 형태의 절댓값 함수 역시 v=∣f(x)−0∣ 꼴로 해석할 수 있으므로 v=∣f(x)−t∣ 형태는 축의 방정식이 x축(v=0)에서 v=t로 바뀐 것 밖에 없다고 생각해 보자.

만약 이러한 해석이 어렵다면 v=∣f(x)−t∣={f(x)−t−(f(x)−t) ​if f(x)≥t if f(x)<t​ 로 풀어서 생각할 수도 있다. 즉,  f(x)의 v값이 t보다 큰 부분은 기존 모양 그대로, t보다 작다면 뒤집어서 마치 접어 올린 느낌으로 그래프를 그린다면 훨씬 해석이 쉽다. 

그래프로 확인하면 다음과 같다.

따라서 이 경우에도 마찬가지로 v=t와 만나는 형태 (뚫고 지나가는지, 접하는지, 스치듯 접하는지 등)에 따라 미분불가능 지점이 발생함을 알 수 있다.

3, 4차함수에 따라 이러한 개형들을 미리 머릿속에 정리해 두면 실제 문제에서 표현이 나올 경우 훨씬 더 해석이 부드럽게 진행될 수 있다. 

또한 다음과 같이 미분가능성을 토대로 인수 개수에 따른 식 작성 또한 가능하므로 참고하자.

위의 개념과 그래프에 대한 사전 인식이 끝났다면 지금 바로 기출 문항에 적용해 보자.

현재 풀고 있는 어떤 시중 교재가 되었던 고난도 파트에 반드시 있는 유형이므로 해당 유형들에 대한 접목을 통해 완벽히 자기 것으로 만들어보자.

[추천]

전국 여러 학군지에서 다수의 학교가 자주 출제하는 킬러 주제인 만큼 반드시 해당 킬러 주제를 완벽히 마스터하자. 특히, 여러 개형의 3, 4차함수에 미리 적용해 보면서 머릿속으로 출제 가능한 개형들을 정리해 보자.