흔히 연속성이 보장된 함수에서 미분가능성 판단은 해당 지점에서의 ‘우미분계수’와 ‘좌미분계수’가 같음을 활용한다.

이때, 대부분의 학생들은 교과서에서 학습한 여러 가지 미분계수 변형식을 활용하여 확인하고자 하는 명제의 참, 거짓을 판단한다. 하지만 이 때, 중요한 사실이 있다. 바로 미분계수의 변형식 형태는 ‘주어진 함수가 미분가능하다’ 는 것이 보장된 상태여야 한다는 것이다. 

본격적인 내용 설명에 앞서 다음의 예시 문항을 살펴보자.

결론부터 말하자면 위의 풀이는 완벽하게 틀렸다.

주어진  가 미분가능일 때 ㄱ, ㄴ, ㄷ 보기를 위와 같이 전개하는 것은 자명해보이지만, 위의 문제에서 물어본 것은 ‘필요충분조건’을 찾는 것이다. 즉, ㄱ, ㄴ, ㄷ이 먼저 성립할 때도 주어진 함수가  에서 미분가능한지까지 확인해야하는 것이다. 그렇다면 올바른 풀이는 어떻게 진행해야 할까? 왜 ㄱ, ㄴ, ㄷ이 모두 옳은 명제가 아닐까?

다음 풀이에서 그 이유를 확인해보자.

이러한 문항에서 틀리지 않으려면 어떻게 해야할까? 우선, 주어진 형태가 미분가능성을 오롯이 판단할 수 있는 형태인지 또는 좌 또는 우미분계수 한쪽만 확인 가능한 형태인지
확인하는 것이다.

다음은 기출 문항에서 자주 출제되었던 형태들이므로 반드시 눈에 익혀두자!

또한 추가적으로 미분가능성의 진위 판단을 할 때, 수학2에서 가장 쉽게 떠올릴 수 있는 반례는 절댓값 함수라는 것을 기억하자. 절댓값 함수의 경우 항상 연속하기에 극한값은 존재하지만 꺾인 포인트를 기준으로 좌, 우 미분계수가 서로 다르기에 반례로 활용하기에 적합하다.

예시로 든 문항은 벌써 10년도 훨씬 넘은 과거 문항이지만, 해당 형태의 문항은 이후 다양한 학교의 내신 빈출 주제가 되었고, 또한 최근 모의고사 기출 문항들에 있어서도 그 활용성이 높은 개념이므로 반드시 연습하여 완벽하게 정복하자.

[추천]

전국 여러 학군지에서 다수의 학교가 자주 출제하는 킬러 주제인만큼 반드시 해당 킬러 주제를 완벽히 마스터하자. 특히, 대표적인 반례까지도 완벽하게 이해하는 것을 추천한다.