고2 내신과 고3 모의고사에서 킬러 문항으로 자주 등장하는 주제 중 하나가 등차수열의 합에 대한 주제이다. 단순히 공식을 암기하여 푸는 것도 가능하지만, 다양한 분석을 토대로 접근하면 훨씬 시간이 단축되며, 문제를 한결 편하게 풀 수 있다. 기본적인 개념이 인지된 학생들을 위한 기술적인 접근이므로, 반드시 필수 개념 암기가 된 후 사용하는 것을 추천한다.

우선 등차수열의 합의 형태에 대하여 이해를 시작으로 심화시켜 보자. 

이러한 등차수열의 합 형태를 사전에 인지하고 있다면 다음과 같은 두 가지 기술적인 접근이 가능하다.

◇ 등차수열의 합의 구조를 통해 일반항 빨리 구하기

수열의 합과 일반항 사이의 관계를 활용하여 복잡한 계산을 통해 등차수열의 일반항을 구하지 않아도 된다. 아래의 프로세스를 기억해 보자.

다소 복잡해 보이지만 결국에는 등차수열의 합과 일반항의 최고차항들이 공차와 연관되어 있음을 기억하고, 여기에 초항 구하는 방법을 덧붙여서 문제를 해결하는 것이다. 

위의 방법은 반드시 여러 예제를 통해 훈련 후에 자기 것으로 체화해야만 한다. 아래 예시로 연습해 보자.

실제로 위의 방법을 사용하여 예제를 풀어보면 기존의 방법 대비 계산 실수량이 현저히 줄어들고, 훨씬 더 계산 피로도를 낮출 수 있다는 장점이 있으므로 반드시 체화해 보자.

◇ 등차수열의 합의 형태와 이차함수의 활용

교과서 상에서는 수열을 ‘자연수 집합에서 정의된 함수’라고 표현되어 있다. 이에서 아이디어를 얻어 기존에 우리가 1학년 과정에서 학습했던 이차함수를 도구로 활용하여 등차수열의 합의 형태를 이해해 보려고 한다.

물론 실제로는 등차수열의 합 역시 자연수 단위로만 (이산적으로) 정의되지만 결국에는 그 점들도 이차함수 위에 표시되는 점들이기에 전체적인 이차함수 그래프를 그려서 해석만 편하게 진행하는 것이다.

이러한 그래프를 활용하면 다음과 같은 예시를 풀수 있다.

위의 예시 이외에도 등차수열의 합이 0이 되는 경우 및 절댓값 활용 등에도 사용할 수 있으므로 꼭 익혀보자. 특히, 과거 교육청 모의고사 킬러로 나왔던 문항들과 함께 학습하면 다양한 활용을 연습해 볼 수 있다.

◇ 추천

당연히 기본 공식을 활용하여 해결하는 방법을 완벽히 익힌 후 위와 같은 기술적인 접근이 가능하다. 기본을 등한시한 스킬은 가장 지양해야 하는 공부법이므로 꼭 필수 공식 암기와 계산 연습을 한 후에 위와 같은 방법들을 사용해 보자.