복소수의 주기성에 관한 문항은 내신, 모의고사 빈출 주제이다.

교과과정 내의 정석적인 풀이법은 여러 번의 거듭제곱을 직접 진행하면서 주기성을 확인하는 것이지만, 이러한 풀이법은 학생들로 하여금 반복된 작업을 통한 계산 피로도를 높이기도 한다.

따라서 교과과정 외의 내용이지만, 복소수의 주기성을 확인하는 데 있어서 알고 있으면 편한 복소평면 활용법을 소개하려 한다. 

우선 복소평면을 활용하기 위한 기본적인 용어들을 소개한다.

쉽게 이해하자면, 기존의 x축을 실수부를 표현하기 위한 실수축으로, y축을 허수부를 표현하기 위한 허수축으로 설정 후 원의 중심과 해당 점을 연결하여 발생하는 각도를 관찰하는 것이다. 교과 외의 내용이기에 최대한 단순화하여 기억하자. 

또한, 본격적인 복소수의 주기를 확인하기 위해서 복소평면 내에서 복소수끼리의 연산과 편각의 관계는 다음만 기억하자.

위의 사실들을 활용하여 본격적인 복소수 주기성을 확인해 보자.

우선 과연 어떤 상황에서 복소평면의 아이디어를 활용하는 것이 유리한지에 대해서 판단한 후, 사용 추천 상황에 해당할 경우 편각의 크기를 활용해 다음과 같이 주기성을 찾는다. 

즉, 중학교 때까지 학습한 특수각에 대한 삼각비를 사용할 수 있을 때, 해당 각도를 몇 번 더해야 360도의 정수배가 되는지를 확인해 그 더해진 횟수를 복소수의 주기라고 할 수 있다. 

다음의 세 가지 예시를 통하여 확인해 보자.

이 외에도 다양한 복소수에서 복소평면을 사용할 수 있지만, 가급적 위의 예시들처럼 빈출 형태의 복소수 위주로 (편각이 특수각인 경우) 사용하는 것을 추천한다. 실전에서 원활한 사용을 위해 평상시에 여러 예시에 반복 적용하여 완벽한 체화를 한 후에 사용하길 바란다.

[추천]

본인이 복소수의 주기성에 대한 기본적인 이해가 부족한 경우, 위 방법은 굳이 추천하지 않는다. 교과 외 과정을 활용한 스킬인 만큼 선제적으로 교과 내 내용을 완벽하게 소화하고, 이후 시간 효율성을 위해 하나의 추가적인 도구처럼 사용하는 것이 좋다.