학생들이 가장 어려워하는 문제는 두말할 것 없이 응용문제다. 각 단원별 종합평가 문제 중 가장 마지막에 풀도록 되어 있는 응용문제는 주로 줄글로 된 고난이도 문제다. 문제집에 따라서는 별표가 3개 이상 표시되어 있어서 처음 딱 접하자마자 학생들로 하여금 지레 겁부터 먹게 만드는 무서운(?) 문제이기도 하다. 그래서 수학에 자신 없는 학생일수록 고난이도 문제라고 표시되어 있는 문제들을 접하자마자 ‘난 원래 어려운 문제는 못 풀어!’라고 단정 짓고 문제를 읽어볼 생각도 하지 않는 경우가 많다. 하지만 응용력 부족은 단순히 아주 어려운 고난이도 문제에서만 나타나는 문제는 아니다. 공부했던 개념이나 공식을 변형하여 적용해야하는 경우에서도 나타날 수 있다. 분명 알고 있는 내용 또는 알 것 같은 내용인데도 불구하고 손도 못 대는 경우. 이러한 응용력 부족 현상은 어떻게 개선할 수 있을까?

Grade 3. 문제가 무얼 말하는 거지? 무슨 말인지도 하.나.도. 모르겠다!

응용력 높은 문제들은 주로 서술형 문장으로 구성되어 있다. 이러한 문제를 보고 도무지 무슨 말인지도 모르겠다는 학생은 우선 자신의 국어 실력을 의심해봐야 한다. 국어 독해력이 부족한 학생일수록 응용력이 낮은 경우가 많은데, 이는 기본적인 독해 실력이 부족하기 때문에 발생되는 문제로 실제 영어에서도 문장을 모두 해석해놓고도 설명을 들어야 이해되는 것과 비슷한 경우라고 볼 수 있다. 특히 이 수준의 학생들은 어떤 단어와 용어들이 문장에서 쓰이고 있는지, 해당 단어가 자신이 배웠던 개념에 어떤 부분에 해당되는지조차 매칭이 어려운 학생이 많다. 따라서 이러한 학생들은 우선 문제에 나오는 단어와 용어를 따로 정리해서 해당 내용이 자신이 배운 단원 중 어디에 해당되는지 연결 짓는 연습이 우선되어야 한다. 문제 자체의 이해가 되지 않으면 문제를 풀 수조차 없기 때문에 이러한 연습이 선행된 이후, 개념이나 공식의 적용이 이루어져야 보다 내실 있는 수학 실력을 쌓을 수 있기 때문이다.

Grade 2. 아니, 이게 중간값 정리 문제인지는 알겠는데... 도대체 언제 어떻게 적용하라는 거야?

응용문제 해결에 어려움을 겪는 학생들은 한번쯤 이러한 경험을 해봤을 것이다. 중간까지는 어떻게 풀어냈다. 그런데 그 이후는? 도저히 어떻게 풀어야 할지조차 생각나지 않았던 경험. 이런 학생의 문제는 해당 문제가 어떤 개념을 적용해서 풀어내야 하는지도 알고 있음에도 불구하고, 풀지 못한다는 것이다. 학생 입장에서는 답답할 노릇이다. 이런 문제의 경우는 학생이 단순히 알고 있는 공식만으로 풀기 어려운 경우가 대부분이다. 왜냐하면 고난도 문제의 경우는 공식의 단순 적용보다는 문제에서 요구하고 있는 조건에 맞추어서 풀어야 하는 경우가 많기 때문이다. 예를 들어 ‘2차 방정식의 두 근이 모두 실수가 되기 위한 조건에 맞는 자연수 a의 범위로 적합한 것은?’와 같은 문제에서 ‘두 근이 모두 실수가 되기 위한’ 이란 조건은 2차 방정식의 판별식에 대입해서 바로 구할 수 있는 값이지만, 이러한 조건에 맞는 ‘자연수 a값’은 해당 풀이과정에서 다시 도출해야 하기 때문이다.

따라서 이러한 경우는 문제 속의 숨겨진 문제풀이 힌트를 잘 파악해서 정리하는 것이 필요하다. 앞선 경우와 같이 문제 속 용어와 자신이 배운 단원을 정리하는 것은 물론, 문제를 풀 때 핵심적인 풀이 key가 문제 속에 어디에 있는지 확인해보는 연습이 필요하다. 그런 후 핵심key가 문제풀이과정의 어느 부분에서 어떻게 활용되는지를 확인하여 익히는 것이 필요하다. 문제집에 따라서 이러한 과정을 기재해 놓은 교재가 있기도, 없기도 하기 때문에 이러한 부분이 있는지는 문제집을 살 때 미리 파악하여 교재를 선택하는 것이 필요하다.

또한 복잡해 보이는 서술형 문제일 경우에는 문제를 정리하면서 그림으로 그려서 파악해보는 것도 좋다. 특히 속도 관련 문제나 농도 관련 문제 등은 이러한 방법을 적극적으로 활용하는 것이 필요하며, 만일 어렵다고 생각된다면 해설에 제시된 그림이라도 다시 한번 적어보면서 생각을 정리해보는 것이 좋다.

Grade 1. 아! 난 꼭 그림이나 도표가 나오는 문제에서 자꾸 틀려!

문제의 난이도가 높아질수록 문제에 수식보다는 그림과 도표가 많아진다. 따라서 과학이나 사회처럼 수학에서도 그림과 도표를 해석하는 능력이 요구되는데 특히 기하 파트 문제의 경우는 더욱 그 중요성이 커진다. 기차가 터널을 통과하는 문제라든지, 비커에 담긴 소금물의 농도를 맞추어야 하는 문제, 원 안의 반원의 호의 길이를 구하는 문제 등등에서 그림이 많이 활용된다. 사실 서술형 문제를 풀 때에 문제에 대한 이해가 가장 빨리되는 방법은 그림을 통해서 정리해보는 것이다. 그런데 문제에 이미 그림이나 도표가 주어지게 되면 이러한 과정이 생략되기 때문에 자신 스스로 해당 내용을 정리해볼 기회가 없는 셈이다. 따라서 이런 부분에서 취약하다고 판단되면, 문제 속의 그림을 문제를 읽어가면서 해당 내용을 접목시켜서 정리해보는 과정이 필요하다. 특히 도형 문제의 경우는 더더욱 이러한 과정이 요구되고, 문제 속에 제시되어 있지 않은 나머지 부분에 대해서 추론해서 도형을 완성해본다든지 하는 방법을 적극 활용해서 보이지 않는 부분을 가시화하는 것이 중요하다.

수학 응용력의 수준에 따른 3가지 처방에 대해서 다시 정리하면 다음과 같다.

Grade 3. 이거 외계어 아님?!

->수학에도 독해가 필요해! 개념과 문제의 연계점을 찾아 정리하라!

Grade 2. 이건 머, 알아도 못 풀겠는데?!

->문제 속에 답이 있다! 그림 그리기를 통해 문제 해결의 key를 찾아라!

Grade 1. 도형 문제, 완전 골치 아파!

-> 혹시 눈으로만 보지 않았니? 문제 도식화를 통해 보이지 않는 부분까지 잡아라!