공통수학1 시험에서 자주 등장하는 주제 중 하나가 ‘상반방정식’ 에 대한 해석이다. 

상반방정식(Reciprocal polynomial, symmetrical equation)이란 다항 방정식 계수의 모양이 대칭적으로 나열된 것을 말하게 된다. 

상반방정식의 경우, 홀수차수 상반방정식과 짝수차수 상반방정식으로 나누어 접근하지만, 고등학교 1학년 과정에서는 4차 상반방정식 ax^4+bx^3+cx^2+bx+a=0과 5차 상반방정식 ax^5+bx^4+cx^3+bx+a=0만 출제 되기에 이에 대한 접근법을 소개한다.

우선 4차의 상반방정식 ax^4+bx^3+cx^2+bx+a=0의 경우 보편적인 풀이법은 다음과 같다.

주어진 상반방정식의 양변을  으로 나누거나 묶으면 (묶는 것을 더 추천한다) 공통인 형태 x+1/x 가 발견되므로, 이때 해당 꼴을 치환하여 인수분해를 진행한다고 생각하면 된다. 

다음의 예시를 보자.

위의 풀이법은 한번 익히고 나면 그렇게 어렵지는 않지만, 학생들로 하여금 매번 시간을 많이 할애하게 만드는 단점이 있다.

따라서 시험에서 자주 등장하는 ‘최고차항의 계수가  인 4차 상반방정식’의 경우 다음과 같은 문제 풀이 Tip을 사용할 수 있다. 

즉, 최고차항의 계수가 1일 경우 해당 상반방정식의 결과 형태를 알고 있다는 가정하에, 가볍게 좌·우 계수 비교를 통한 모양을 익혀둔다면 시험장에서 훨씬 더 시간을 단축할 수가 있는 것이다. 당연히 정석적인 풀이법을 익혔다는 가정하에 속해법까지 익혀두는 것을 추천한다.

다음으로 5차의 상반방정식 ax^5+bx^4+cx^3+bx+a=0의 경우, 보편적인 풀이법은 다음과 같다.

5차 상반방정식의 경우 반드시 (x+1)이라는 인수를 갖는 형태가 되므로 (대입하여 0이 되는 것을 확인하면 된다.) 해당 인수를 활용하여 조립제법을 진행하면, 다시금 4차의 상반방정식이 만들어진다.

이후 위에서 학습한 4차 상반방정식의 풀이법을 활용하여 마무리 지으면 된다.

이 외에도 상반방정식은 그 특유의 독특한 꼴로 인해 근의 형태에도 다음과 같은 특징이 있다. (계수의 형태가 역순으로 진행되면 근의 형태도 역수 구조로 발생한다는 사실을 활용.)

즉, 상반방정식은 항상 자기자신과 역수 형태인 근을 동시에 가져야한다는 사실을 인지하자.

◇ 추천 

특수 주제이지만 전국 여러 학군지에서 다수의 학교가 매년 출제하는 주제인 만큼 정석적인 풀이뿐만 아니라 속해법, 특징까지 완벽히 정리하여 시험장에서 적극 활용해 보자.