수학에서 개념 학습이 중요하다는 점을 모르는 사람은 없다. 하지만 어떻게 공부를 해야 개념을 제대로 이해했고 완벽하게 숙지했다고 할 수 있는지 그 방법에 대해서 궁금해 하는 학생들이 많을 것이다.

1) 소단원 제목을 통해 오늘 공부할 것을 정확하게 이해한다.

수학 개념 학습을 할 때 가장 중요한 것은 소단원 제목을 이해하는 것이다. 교과서 및 개념서에 제시된 소단원 제목은 이 단원에서 공부할 내용 전체를 한 줄로 요약해 놓은 핵심 내용이다. 그냥 읽는 것이 아니라 간단하게 다음과 같이 생각을 해 보며 소단원 제목을 읽어보면 개념 이해를 하는데 많은 도움이 될 것이다.

‘삼각형의 중점 연결 정리’라는 소단원에서 아직 이 단원에 대한 공부를 하기 전이라고 가정을 하고 제목을 읽어보고 드는 생각을 정리해본다.

① 제목에 삼각형이 들어가 있으니까 이 단원은 삼각형에 대해서 공부를 한다는 것이구나.
② 중점? 가운데에 있는 점이네? 삼각형에 가운데에 있는 점에 대한 단원인가?
③ 정리라는 걸 보니 다양한 성질이 나오겠네.

이와 같이 소단원 제목을 보고서도 오늘 공부할 내용이 무엇인지 대충 짐작이 가능하다. 위 질문에 대해서 보면 위 학생은 ‘중점’이 무엇을 뜻하는지 알게 되면 이 단원에서 무엇을 공부해야 하는지 30%는 이해하고 시작했다고 해도 무난하다. 실제로 소단원 제목에서 보았던 ‘중점’이란 바로 ‘삼각형을 이루는 각 변의 중심에 있는 점‘을 의미한다. 이렇게 소단원 제목을 보고 내가 오늘 공부할 개념에 대해서 알고 있는 내용을 통해 스스로 유추해 보는 과정을 거친다면 이후 진행될 개념을 학습하는 과정이 더욱 수월하게 진행될 수 있다.

2) 누구나 알고 있는 ‘수학의 기본’에 충실해야 한다.

수학을 공부할 때에 나온 개념이나 단어, 정의, 기호를 정확하게 숙지해야 한다는 것은 누구나 잘 알고 있다. 저학년 때는 비교적 쉬운 개념을 다루기 때문에 이 단계에서 어려움을 느끼는 학생은 거의 없다. 그냥 읽어보거나 단순 암기로서도 해결이 가능한 경우가 더 많이 있기 때문이다. 그러나 점점 새로운 개념을 설명하는 용어 자체가 어려워진다. 이때부터 보통 학생들은 수학이 어렵다고 느끼기 시작한다. 정의를 설명하는 문장에서 모르는 단어는 사전을 찾아보면서라도 이해를 해야 한다.

새로운 개념이나 정의를 이해했다면, 이를 표현하는 수학적 기호도 잘 알아두어야 한다.

지금 노트를 펴서 이등변 삼각형의 정의를 적어보자.

① 두 변의 길이가 같은 삼각형

② ∆ABC에서 

①과 ②는 같은 뜻이다. 이렇게 수학은 간편하게 표기하려는 성질(?)을 갖고 있는 과목이기 때문에 긴 설명보다는 간단한 기호로 표현하는 경우가 더 많다. 그러므로 정의를 설명하는 기호도 정확하게 사용할 수 있어야 한다. 이 때 효과적인 학습법은 직접 적어보면서 수학적 표현을 익숙하게 만드는 것이다. 눈으로 그림을 읽고 스캔하는 것 보다는 손과 눈을 함께 이용한다면 더욱 빠르게 익힐 수 있을 것이다.

3) 성질(정리)는 꼭 내 손으로 증명해본다.

정의, 정리, 증명에 대한 정확한 개념을 이해해야 한다. 이때부터 강조되는 것은 ‘성질을 공부했으면 증명을 내 손으로 해 보아야 한다.’는 것이다. 정의가 약속이라면 이 정의에서 도출된 여러 가지 특징들이 바로 성질이다. 수학은 매우 논리적인 과정으로 이 성질들을 설명할 수 있어야 한다. 특히 수체계, 도형단원에서 ‘~을 증명하시오.’ 하는 문제를 스스로 해결할 수 있는 수준으로 공부를 한다면 더욱 도움이 될 것이다. 이 증명 과정이 중요한 이유는 정의로부터 도출될 수 있는 성질은 매우 다양하고 그 증명 방법도 여러 가지가 될 수 있기 때문이다. 또한 대부분의 공식은 이런 증명 과정의 결과만을 수식으로 정리해 놓은 것이기 때문에 과정을 이해하고 공식을 암기한다면 공식의 활용 범위와 방법은 매우 넓어질 수 있을 것이다.

4) 예제문제로 개념을 완벽하게 이해한다.

수학 교재들은 개념을 설명하고 그것을 간단하게 확인하는 목적으로 예제문제 또는 확인 문제를 제시하는 것이 일반적이다. 해당 소단원의 내용을 제대로 이해하였다면 이런 문제들은 쉽게 느껴지고, 굳이 내가 풀이 않아도 알 수 있을 것 같은 느낌을 받을 정도로 매우 쉬운 문제들이다. 그렇다고 해서 그냥 넘어가면 안 된다. 예제문제가 중요한 이유는 두 가지다.

내가 중요한 내용을 제대로 공부했는가를 확인하기 위한 목적으로 풀어보아야 한다. 만약 예제문제에서 오답이 나왔다면 그 개념을 정확하게 학습하지 못했을 가능성이 있으므로 틀린 문제에 관련된 개념은 다시 복습해야 한다.

두 번째 이유는 예제 문제를 풀면서 개념을 더 확실하게 이해할 수 있다. 특히 수체계, 문자와식, 함수 단원은 개념 설명만 공부해서는 문제를 해결하기 어려운 경우가 많다. 중학교 교재에서 함수는 다음과 같이 정의하고 있다.

두 변수  에 대하여  의 값이 하나 정해지면 그에 따라  의 값이 오직 하나씩 대응하는 관계가 있을 때,  는  의 함수라 한다.

이 표현을 보았을 때 과연 함수가 무엇인지 정확하게 이해가 되는 중학교 학생이 얼마나 있을까? 많지 않을 것이다. 이런 함수의 개념을 공부하는 소단원 아래의 예제문제는 보통 다음과 같이 제시된다.

[예제] 두 변수  사이의 관계가 다음과 같을 때, 다음 표를 완성하고  가  의 함수인지를 말해보자.

한 개에 100원인 사탕  개의 가격  원

이 문제를 해결하는 것은 어렵지 않다. 사탕 한 개 가격인 100원에 사탕 개수를 곱하면 바로  값이 나온다. 이때  와  는 사탕의 개수에 따라서 값이 변하게 되고,  값이 1이면  값은 100,  값이 2이면  값은 200... 이렇게  값 한 개에  값 한 개의 숫자가 대응하게 된다. 이런 과정을 보면서 함수의 ‘오직 하나씩 대응하는 관계’ 에 대해서 구체적으로 이해를 할 수 있는 것이다. 

이렇게 예제문제는 쉽지만 꼭 풀어보아야 하는 중요한 문제이다. 문제이지만 개념 이해 과정에서 강조하는 이유도 위와 같은 이유 때문이다.

5) 소단원 학습을 마무리 하면서 중요한 내용은 개념 노트에 요약, 정리해둔다.

소단원 학습을 마무리 하면서 학습한 내용 중 중요한 키워드들은 개념 노트에 따로 요약, 정리를 해 둔다. 예쁘게 정리하고 참고서처럼 자세한 노트를 만들지 않아도 된다. 간단하게 키워드만 정리해 두는 정도이다. 중요한 개념들을 확인하고 반복 학습의 효과가 있고, 수학에서 노트 정리는 수학 체계를 확인하는데도 많은 도움이 되기 때문이다.

개념 학습을 위한 교재는 어떤 교재를 선택하여야 할까? 수학 개념서는 거의 모든 출판사에서 발간하고 있다. 내용을 자세히 보면 다 비슷비슷하다. 개념서는 본인의 취향에 알맞게 고르는 것이 제일 좋다. 수학 개념서를 선정할 때는 다음 내용을 참고하자.

수학 개념서도 자세히 보면 특징이 있다. 한 가지는 개념을 옆에서 선생님이 설명해주듯이 설명이 매우 자세한 교재가 있는 반면 중요한 핵심 내용을 정리한 교재가 있다. 평소 공부할 때 개념을 이해하는데 시간이 많이 걸리거나 용어가 어렵다고 느껴지면 최대한 자세하게 설명이 된 교재를 선정하는 것이 좋다.

단, 이런 교재들은 설명이 풍부한데 비해 문제량이 적다는 단점이 있다. 그러므로 이런 교재를 선정하여 공부한다면 얇고 1강, 2강, 3강.. 이렇게 구성되어 내신에서 출제될 수 있는 간단한 문제 위주로 구성된 문제집을 병행하며 공부하는 것이 좋다.

반대로 수학 교과서에 쓰인 용어들은 이해가 되는데 수학 개념을 이해하는 것이 어렵다고 느껴지는 경우라면 개념을 노트 정리 하듯 핵심 내용 위주로 구성된 교재를 선택하는 것이 좋다. 이런 핵심 내용 요약형 교재는 설명이 간단한 대신, 비교적 예제문제가 풍부한 특징을 갖고 있어, 예제를 통해 개념을 이해하는 과정에 더욱 충실할 수 있는 장점이 있다.