실전 시험에서 수학 문제를 풀 때는 동물적인 감각과 기계적인 풀이 테크닉으로 보자마자 풀 수 있어야 한다. 그러나 이게 고등학교 3학년 까지 죽어라 아무생각 없이 문제만 많이 풀어서 갖추기엔 너무 시간도 없고 힘이 든다. 따라서 한 문제를 풀더라도 나만의 아이디어 포착 원칙을 적용해서 푼다면 더 빠른 실력 향상이 있게 된다.

예를 들면 최대최소에 관한 문제는 ‘미분, 극대극소, 절대부등식(주로 산술기하나 코시-슈바르츠 부등식), 부등식영역, 그래프 고려, 도형에 관한 것이라면 코사인 제2법칙을 고려’ 이런 식으로 정리해 두는 것이다. 하지만 이런 식으로 주제별이 아니라 일반적인 문제 풀이 원칙에는 다음과 같은 것들이 있다. 하나하나 잘 머릿속에 두었다가 문제를 풀 때 아이디어 가 잘 잡히지 않을 때마다 적용하는 훈련을 해봐야 한다.

수학 문제 아이디어 떠올리는 방법 10가지

1. 규칙성이 있는지 찾아본다.

보통 규칙을 찾아내면 의외로 간단히 풀릴 문제가 그렇지 못하면 구하지 못할 것처럼 보이는 경우가 있다. 이런 경우 규칙성을 발견하는 게 아이디어 잡기의 기초다.

Ex) 굉장히 큰 지수로 된 값을 구하는 경우 (주로   문제,   문제), 점화식으로 표현해 볼 수 있는 경우

2. 가능하면 식보다는 그림이나 그래프로 생각할 수 없는지 고민한다.
식으로 주어진 것을 그림이나 그래프로 표현해보면 쉽게 풀리는 경우가 많다. 반대로 그림이나 그래프로 주어진 것을 식으로 표현할 수 있는 경우도 있다.

Ex) 근의 분리, 원의 위치관계, 부등식의 영역, 고차부등식 같은 경우

3. 동등한 것으로 변형해본다.
그대로 둬서는 풀 수 없는 경우라든가 더 쉽게 풀기 위해서 다른 것으로 변형하는 경우가 있다.

Ex) 완전제곱으로 변형, 양변을 같은 수로 나눠보거나 빼보거나, 분자분모에 같은 것을 곱하거나, 부분분수로 변형해보는 것, 대우명제를 생각해보는 것, 분모 유리화, 로그꼴과 지수꼴의 상호변형, 로그방정식에서 양변에 로그 잡기, 삼각함수의 배각-반각-합-차-공식

4. 치환을 해본다.
복잡하고 긴 문제를 치환을 통해 간단하게 만들어 푸는 경우가 있다.

Ex) x+y=u, xy=v로 두기, 지수로그방정식에서 치환, 복이차식 같은 경우

5. 대칭을 이용해본다.
대칭성을 활용하면 그냥 푸는 것보다 훨씬 간단해 지는 경우가 있다.

Ex) 우함수, 기함수, 역함수, 이항정리 같은 경우

6. 경우를 나눠본다.
그냥 푸는 게 아니라 각각의 경우를 나눠서 푸는 것이다.

Ex) 경우의 수, 정수 분류해보기, 홀짝 나눠보기, 절대값 기호 안의 숫자 양음 나눠보기

7. 대입을 해본다.
임의의~라는 표현이 나오거나 항등식이라는 표현이 나오면 꼭 대입을 고려해본다.
Ex) 항등식, 임의의~

8. 직접 하는 게 어려우면 그 외의 것을 이용한다.
본래의 것을 직접 구하는 것이 굉장히 어려운 경우 반대 경우를 생각하면 쉬워 지는 것이다.

Ex) 귀류법, 여사건 활용

9. 도움을 주는 존재를 생각해본다.
문제 자체로 푸는 것보다 다른 내용을 첨가하거나 활용하면 쉬워 지는 경우다

Ex) 보조선, 벤다이어그램, 절대부등식, 판별식, 근과 계수 관계, 극값, 미분

10. 일반적인 원칙을 떠올려본다.
일반적으로 성립하는 원칙들을 적용하면 쉽게 풀 수 있는 경우가 있다.

Ex) 실수의 제곱은 0이상, 이차식은   로 표현,   ,   =기울기, 두 직선이 수직이면 기울기의 곱= -1 , 내적은 0